不应该敞开。

因为遛鸟走路时快速奔跑或飞跃时，若笼布敞开，鸟类可能会逃离，从而造成丢失或受伤。

此外，未经批准私自遛鸟是违法行为，应当遵守相关规定，如佩戴专门的鸟类保护设备，遛鸟时应注意安全、环境卫生等，做到文明、合法遛鸟。